一、前言

　　【壓縮機(jī)網(wǎng)】螺桿式壓縮機(jī)由于其可靠性高、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單方便維護(hù)保養(yǎng)等突出優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于制冷空調(diào)、氣動(dòng)工具、工藝化工等國(guó)民生產(chǎn)的各個(gè)領(lǐng)域。一對(duì)相互嚙合的陰陽(yáng)轉(zhuǎn)子作為螺桿式壓縮機(jī)的核心部件，對(duì)壓縮機(jī)的安全運(yùn)轉(zhuǎn)和工作性能起著決定性作用。型線設(shè)計(jì)技術(shù)的不斷進(jìn)步是推動(dòng)螺桿式壓縮機(jī)迅速占領(lǐng)市場(chǎng)主流的根本原因。因而型線設(shè)計(jì)也一直是國(guó)內(nèi)外研究的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，得益于對(duì)嚙合理論的深入研究以及計(jì)算科學(xué)的飛速發(fā)展，各種新型型線被接踵推出。

　　二、轉(zhuǎn)子型線設(shè)計(jì)方法

　　2.1 轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系及坐標(biāo)變換法則

　　如圖1所示，陰陽(yáng)轉(zhuǎn)子的靜坐標(biāo)系X2OY2、X1OY1固結(jié)于機(jī)殼轉(zhuǎn)子孔中心位置，稱(chēng)為機(jī)架坐標(biāo)系；陰陽(yáng)轉(zhuǎn)子的動(dòng)坐標(biāo)系x2Oy2、x1Oy1固結(jié)于陰陽(yáng)轉(zhuǎn)子中心，并隨轉(zhuǎn)子一起繞轉(zhuǎn)子軸線轉(zhuǎn)動(dòng)。定義陽(yáng)轉(zhuǎn)子順時(shí)針為正向，陰轉(zhuǎn)子逆時(shí)針為正向。

　　螺桿式壓縮機(jī)的嚙合屬于平行軸定傳動(dòng)比嚙合，如圖1，位于陽(yáng)轉(zhuǎn)子上的曲線1在位置與陰轉(zhuǎn)子齒上的曲線2相嚙合。通常，型線設(shè)計(jì)的任務(wù)是在曲線1（或曲線2）已知的情況下求取曲線2（或曲線1），這一過(guò)程即坐標(biāo)變換過(guò)程。

　　在圖1所示的坐系下，由陰轉(zhuǎn)子動(dòng)坐標(biāo)(x2,y2)向陽(yáng)轉(zhuǎn)子動(dòng)坐標(biāo)(x1,y1)的坐標(biāo)變換為：

　　由陽(yáng)轉(zhuǎn)子動(dòng)坐標(biāo)向陰轉(zhuǎn)子動(dòng)坐標(biāo)的坐標(biāo)變換關(guān)系表示為：

　　同理，動(dòng)坐標(biāo)與靜坐標(biāo)、靜坐標(biāo)與靜坐標(biāo)間的變換關(guān)系為：

　　2.2解析包絡(luò)法

　　若已知型線的參數(shù)方程表示為，其中t為型線參數(shù)，當(dāng)t取一定值則表示曲線上的一固定點(diǎn)，即指出了曲線上具體何點(diǎn)發(fā)生嚙合；在運(yùn)用式2-1或式2-2進(jìn)行坐標(biāo)變換時(shí)包含未知轉(zhuǎn)角參數(shù)，的物理意義是指出了曲線在何位置發(fā)生嚙合，也叫位置參數(shù)，因而由（t, ）兩個(gè)參數(shù)便可具體指出已知曲線上何點(diǎn)何時(shí)在何位置發(fā)生嚙合，型線嚙合的問(wèn)題關(guān)鍵也轉(zhuǎn)化為如何建立起t和 之間的一一映射關(guān)系。

　　如圖1所示，曲線1、2互相包絡(luò)，根據(jù)包絡(luò)原理，在公切點(diǎn)存在公切線和公法線，則在公切點(diǎn)處建立曲線關(guān)于的偏微分方程和關(guān)于t/的全微分方程。由于是公切點(diǎn)，兩方程必然相等，從而建立起了t和的關(guān)系表達(dá)式，見(jiàn)式2-5和式2-6。具體推導(dǎo)在文獻(xiàn)1中有詳細(xì)介紹，對(duì)其過(guò)程本文不再贅述。

　　式2-5和式2-6可采用隱函數(shù)表示，稱(chēng)其為共軛曲線的包絡(luò)補(bǔ)充條件：

　　將此隱函數(shù)表達(dá)式1與坐標(biāo)變換式2-1或式2-2聯(lián)立即可求出已知型線的包絡(luò)線方程。


 

　　2.3齒廓法線法

　　齒廓嚙合Wills定理是齒廓法線法的理論依據(jù)，其完整表述為：共軛齒廓在傳動(dòng)的任意瞬時(shí)，它們?cè)诮佑|點(diǎn)處的公法線必然通過(guò)該瞬時(shí)的瞬心點(diǎn)P，且P點(diǎn)位于聯(lián)心線O1O2上。顯然，對(duì)于定傳定比的平行軸嚙合問(wèn)題，其瞬時(shí)瞬心點(diǎn)的軌跡即為兩根轉(zhuǎn)子互相外切的兩個(gè)節(jié)圓，其半徑分別為R1t、R2t。據(jù)此描述則在已知的曲線的坐標(biāo)系下可方便快捷的建立起轉(zhuǎn)角位置參數(shù)和型線參數(shù)t之間的一一映射關(guān)系。

　　式2-9、式2-10中，Nx,Ny為已知曲線的法向量在x、y方向的分量。

　　同樣，將坐標(biāo)變換2-1或2-2與式2-9或式2-10聯(lián)立即可求得共軛的型線方程。

　　三、螺桿型線基本組成齒曲線及其包絡(luò)線

　　3.1 圓弧—圓弧包絡(luò)線嚙合副

　　圓弧—圓弧包絡(luò)線貫穿了整個(gè)螺桿轉(zhuǎn)子型線的發(fā)展過(guò)程，是應(yīng)用最廣泛、最常見(jiàn)的一種基本齒曲線。采用圓弧—圓弧包絡(luò)線設(shè)計(jì)的轉(zhuǎn)子具有齒面光滑，易于加工、存儲(chǔ)和運(yùn)輸?shù)膬?yōu)點(diǎn)，因而被大量應(yīng)用于各種對(duì)稱(chēng)、不對(duì)稱(chēng)型線的設(shè)計(jì)中。

　　位于陽(yáng)轉(zhuǎn)子上、圓心在(x0，y0)處的圓弧可表示為：

　　其中：r——圓弧半徑

　　——圓弧端點(diǎn)與原點(diǎn)連線與x軸正向夾角

　　將式3-1與坐標(biāo)變換關(guān)系式2-2中，得其包絡(luò)線方程為：


 

　　采用解析包絡(luò)法，將上式分別對(duì)t和求偏導(dǎo)并代入式2-6的包絡(luò)條件，解得包絡(luò)條件表達(dá)式為：

　　因而陽(yáng)轉(zhuǎn)子上圓心在(x0,y0)處的一段圓弧其包絡(luò)線方程可通過(guò)將式3-2與式3-3聯(lián)立來(lái)表示：

　　對(duì)于銷(xiāo)齒圓弧，    將代入式3-3可得包絡(luò)條件為：=0，這表明銷(xiāo)齒圓弧在起始位置嚙合，且是整段曲線同時(shí)進(jìn)入嚙合，這是圓弧包絡(luò)的一種特殊情況。

　　同理，對(duì)于位于陰轉(zhuǎn)子上、圓心在(x0,y0) 處的一段圓弧及其包絡(luò)線的方程可表示為：

　　3.2 徑向直線-擺線嚙合副

　　在型線發(fā)展的早期階段，出于加工、存儲(chǔ)方面的考慮，同時(shí)為保護(hù)位于齒頂部位、對(duì)機(jī)器性能起重要影響的擺線形成點(diǎn)，設(shè)計(jì)者們?cè)陉庌D(zhuǎn)子節(jié)圓附近添加了一段徑向直線，其典型代表如瑞典SRM公司開(kāi)發(fā)的SRM-A型線。

　　對(duì)于陰轉(zhuǎn)子上的一段徑向直線，其方程見(jiàn)式3-7所示：

　　式3-7中表示直線與x軸正向的夾角，將其代入動(dòng)坐標(biāo)變換關(guān)系式2-1可得：

　　采用解析包絡(luò)法，將式3-8分別對(duì)t和求偏導(dǎo)數(shù)并代入式2-5的包絡(luò)條件，解得包絡(luò)條件表達(dá)式為：

　　則陰轉(zhuǎn)子上徑向直線的包絡(luò)線方程表示為：

　　仔細(xì)觀察上式的特征發(fā)現(xiàn)，徑向直線的包絡(luò)線是一段擺線，即形成“直線—擺線”嚙合副。

　　3.3 點(diǎn)—擺線嚙合副

　　點(diǎn)擺線嚙合副的提出促進(jìn)了非對(duì)稱(chēng)型線的發(fā)展，采用點(diǎn)—擺線組合可將嚙合線嚙合頂點(diǎn)延伸至兩轉(zhuǎn)子孔交線的頂點(diǎn)，從而有效的降低甚至消除泄漏三角形的影響，提高壓縮機(jī)性能。

　　位于陰轉(zhuǎn)子上一定點(diǎn)的方程為：

　　其中為該點(diǎn)與原點(diǎn)連線與x軸的夾角，類(lèi)比徑向直線的方程解法，直接可解出其包絡(luò)線方程為：

　　方程式3-12自然滿足了嚙合條件式2-5，由三角形的三邊關(guān)系可得：

　　其中表示包絡(luò)線上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的線段長(zhǎng)度，取值范圍由相鄰曲線的端點(diǎn)或幾何關(guān)系確定，從而點(diǎn)的包絡(luò)線方程可完整表示為：

　　觀察式3-14的特征可知，點(diǎn)包絡(luò)線方程表征的也是一段擺線，即形成了“點(diǎn)—擺線”嚙合副；

　　采用同樣的方法可得陽(yáng)轉(zhuǎn)子一固定點(diǎn)的方程及其包絡(luò)線方程：

　　3.5 擺線-擺線嚙合副

　　擺線又稱(chēng)為旋輪線，物理上是最速降問(wèn)題的解，也是螺桿壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子型線的基本齒曲線之一，常見(jiàn)的組合方式包括“點(diǎn)—擺線”、“線—擺線”、“擺線—擺線”。

　　對(duì)于平行軸嚙合問(wèn)題，圓外一段外擺線方程見(jiàn)式3-17，它表示這樣一種曲線：半徑為r的圓在基圓上作純滾動(dòng)，將半徑為r的圓稱(chēng)為滾圓，離圓心距離為b的圓上一個(gè)固定點(diǎn)在滾動(dòng)過(guò)程中形成的曲線稱(chēng)為外擺線。幾何關(guān)系見(jiàn)圖4所示。

　　將式代入坐標(biāo)變換式2-1可得陽(yáng)轉(zhuǎn)子上外擺線的嚙合線方程為：

　　嚙合線方程為：

　　由式3-18、式3-19的特征可見(jiàn)，外擺線的包絡(luò)線為內(nèi)擺線，是同一滾圓、同一點(diǎn)在節(jié)圓2的內(nèi)圓周上滾出來(lái)的；擺線的嚙合線為一圓心在滾圓中心，經(jīng)過(guò)形成點(diǎn)K、半徑為b的圓。

　　特別當(dāng)A=a，即滾圓中心與陰轉(zhuǎn)子中心重合時(shí)得：

　　即此時(shí)“擺線—擺線”嚙合關(guān)系退化為“點(diǎn)—擺線”嚙合；

　　當(dāng)A-a=r=b時(shí)，式3-18可化簡(jiǎn)為：

　　它表示一段徑向直線，即此時(shí)“擺線—擺線”嚙合關(guān)系退化為“線—擺線”嚙合；式3-20和式3-21表明“線—擺線”、“點(diǎn)—擺線”嚙合是擺線嚙合副的特殊形式。

　　3.6 橢圓-橢圓包絡(luò)線嚙合副

　　橢圓作為一種二次曲線，是近些年才應(yīng)用于流線型等高效型線的設(shè)計(jì)當(dāng)中，代表型線有GHH型線、復(fù)盛型線等。

　　在圖1所示的坐標(biāo)系下，陰轉(zhuǎn)子上與x軸正向夾角為t0、圓心為(x0,y0)、長(zhǎng)半軸短半軸為(a,b)一段橢圓方程可表示為：

　　將式代入坐標(biāo)變換關(guān)系式得包絡(luò)線方程：

　　由于橢圓包絡(luò)線的方程形式復(fù)雜，采用解析包絡(luò)法過(guò)于繁瑣，此處采用齒廓法線法，其包絡(luò)條件可表示為：

　　式3-24中（Nx2，Ny2）為橢圓弧在t處的法向量。將式3-23和式3-24聯(lián)立即可求出橢圓包絡(luò)線的方程。

　　四、GHH型線解析推導(dǎo)

　　GHH型線是一種性能優(yōu)良的流線型型線，由德國(guó)GHH公司推出。見(jiàn)圖5所示，GHH型線在齒頂采用點(diǎn)嚙合擺線，盡量減小泄漏三角形面積，從而降低了泄漏損失，組成齒曲線及嚙合線見(jiàn)表1所示。雖然其組成齒曲線已公開(kāi)多年，但仍未見(jiàn)有公開(kāi)資料對(duì)其構(gòu)造進(jìn)行分析。本文以GHH型線為例，闡述了轉(zhuǎn)子型線的構(gòu)造方法。

　　4.1 BD-HJ圓弧-圓弧曲線段

　　BD段為圓心在兩轉(zhuǎn)子節(jié)圓交點(diǎn)上的銷(xiāo)齒圓弧，半徑為r的銷(xiāo)齒圓弧方程為：

　　一般取t1=0，即圓弧段至陽(yáng)轉(zhuǎn)子齒頂結(jié)束，銷(xiāo)齒圓弧在=0時(shí)整段嚙合，將式4-1代入式3-2得與BD段相嚙合的曲線段HJ的方程為：

　　4.2 DE-J點(diǎn)—擺線曲線段

　　陰轉(zhuǎn)子上曲線DE是由陽(yáng)轉(zhuǎn)子齒頂J點(diǎn)生成的擺線，J點(diǎn)方程為：

　　將方程4-3代入式3-16得DE段擺線方程為：

　　4.3 E-JK點(diǎn)—擺線曲線段

　　陰轉(zhuǎn)子上曲線JK是由陰轉(zhuǎn)子DE擺線的端點(diǎn)E點(diǎn)生成的擺線，E點(diǎn)方程為：

　　將方程4-5代入式3-14得JK段擺線方程為：

　　其中， 為O2E與陰轉(zhuǎn)子x軸正向的夾角，

　　4.4 EF-KL圓弧-圓弧曲線段

　　EF段為圓心在陰轉(zhuǎn)子節(jié)圓上、半徑為r0的小圓?。?br />

　　其中為圓弧的夾心角，由于EF與曲線段KL嚙合，其對(duì)應(yīng)的嚙合線為一端在陽(yáng)轉(zhuǎn)子節(jié)圓上、另一端在x軸上的一段圓弧51，由三角關(guān)系可確定的取值為：

　　將式4-7代入到式3-6求得包絡(luò)線KL的方程：

　　4.5 AB-GH橢圓-橢圓包絡(luò)線曲線段

　　AB段為位于陰轉(zhuǎn)子上的一段橢圓，其中心坐標(biāo)為(x0,y0)，長(zhǎng)半軸和短半軸分別為(a,b)，四個(gè)參數(shù)均為未知數(shù)，因而求解此段型線的關(guān)鍵為確定橢圓的位置參數(shù)。

　　AB段橢圓的端點(diǎn)B同時(shí)也是銷(xiāo)齒圓弧的端點(diǎn)，其坐標(biāo)記為(xB,yB)，由連續(xù)性條件判斷在點(diǎn)B處橢圓曲線AB與銷(xiāo)齒圓弧BD有公切線和公法線，B點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)記為kB，則B點(diǎn)處切線與x軸的夾角t0為：

　　AB段橢圓的端點(diǎn)A與齒項(xiàng)圓相切，其坐標(biāo)記為(xA,yA)，記A點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為kA, A點(diǎn)與x軸正向的夾角為：

　　通過(guò)以上分析(xB,yB)，(xA,yA)，kA，kB均可由相鄰曲線或幾何關(guān)系求出，將這五個(gè)已知量代入方程3-22可得確定橢圓參數(shù)的五元非線性方程組：

 

　　解出五元非線性方程組即確定了以(x0，y0，a，b)定義的橢圓。將其代入3-23、3-24即可求解橢圓包絡(luò)線方程。

　　4.6 GHH型線的具體算例

　　取GHH型線齒數(shù)比為z1:z2=5:6，中心距A=90mm，銷(xiāo)齒圓弧半徑r=25.8%*A =23.22mm，齒頂圓弧r0=1.5mm，銷(xiāo)齒圓弧夾心角 0=0.7854；則可依次求得(xB，yB)=(32.6719,-16.4190)，(xA,yA)=(38.0533， -33.3374)，kB=-1,kA=1.1415,tA=0.7194, t0=-0.7854; 生成的型線如圖5所示，圖2表示陽(yáng)轉(zhuǎn)子對(duì)陰轉(zhuǎn)子的包絡(luò)過(guò)程，證明嚙合過(guò)程無(wú)干涉現(xiàn)象。

　　GHH型線的推薦齒數(shù)比為5：6，GHH型線也能適應(yīng)其它齒數(shù)比的設(shè)計(jì)，見(jiàn)圖6所展示的4：6、4：5型線。

　　五、結(jié)論

　　采用解析包絡(luò)法能使型線求解的數(shù)學(xué)邏輯清晰明了，但對(duì)于復(fù)雜組成齒曲線，解析包絡(luò)法在求解時(shí)往往生成冗長(zhǎng)繁雜的表達(dá)式，使得求解過(guò)程極易出錯(cuò)；齒廓法線法則具有更明解的物理意義，尤其是在解析包絡(luò)法不便求解的場(chǎng)合，使用齒廓法線法可使得型線設(shè)計(jì)過(guò)程更直觀簡(jiǎn)便。但齒廓法線法不適應(yīng)于齒型參數(shù)偏導(dǎo)數(shù)為不存在的場(chǎng)合，如“點(diǎn)—擺線”曲線組的設(shè)計(jì)，因而在型線設(shè)計(jì)過(guò)程中，可根據(jù)需要靈活選擇兩種設(shè)計(jì)方法。

　　本文以GHH型線為例，詳細(xì)介紹了型線設(shè)計(jì)的過(guò)程，即對(duì)兩種型線設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了驗(yàn)證，又揭示了GHH型線的設(shè)計(jì)特點(diǎn)，為后續(xù)開(kāi)發(fā)高效型線提供參考。

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